TEOREMA DE FERMAT  

Fermat deriva de sus métodos de máximos y mínimos un procedimiento para construir las tangentes a las curvas algebraicas ^1.

Fermat estudia la tangente a la elipse en la segunda parte de la memoria Ad eamdem methodum ad disquirendam maximan et miniman, (TH.OF.III.126–130) como una nueva aplicación de su método de “adigualdad”. Esta memoria, escrita en la primavera de 1638, fue compuesta probablemente para explicar elMethodus a Mydorgue, Desargues y otros matemáticos del círculo de Mersenne, cuando Descartes les pidió que actuaran como árbitros en su controversia con Fermat. En una forma conceptual y estilística calcada del Methodus, puramente algorítmica y despro­vista de todo fundamento demostrativo, Fermat ilustra su método, aplicándolo a una serie de ejemplos, entre los que destaca la resolución del famoso problema de Pappus (Proposición VII.61, de La Colección Matemática), probable fuente de inspiración para Fermat de sus métodos de extremos y tangentes.

Como en el caso de la parábola, en el trazado de la tangente a la elipse, Fermat manifiesta que aplica su método de máximos y mínimos  (TH.OF.III.129):

«[...]. Para aplicar también este método a las tangentes, puedo proceder como sigue. Sea, por ejemplo la elipse [...]».

 Fermat considera la elipse ZDN de eje ZN y centro R, y se plantea trazar la tangente en un punto D de la misma. Sea ésta DM, que interseca al eje en el punto M. Tracemos la ordenada DO desde el punto D y pongamos, en notaciones algebraicas, OZ=b, ON=g. Hemos de determinar el segmento subtangente, OM=a.

Fermat toma, a continuación, un punto V cualquiera comprendido entre O y N:

«[...]. Puesto que DM es tangente a la elipse, si por un punto V, tomado “ad libitum” entre O y N, [...]»,

y traza la ordenada IEV, paralela a DO, que corta a la tangente DM en el punto I, y a la elipse en el punto E.

Aplicando para la elipse, la propiedad de generación de las cónicas, en forma de proporción (Las Cónicas de Apolonio I.13), Fermat obtiene:

.

De la semejanza de triángulos rectángulos DOM, IVM (Euclides, VI.4), resulta:  DO/IV = OM/VM.

Siendo DM tangente a la elipse, todos sus puntos excepto D, son exteriores a la elipse, por tanto IV>EV, lo que combinado con las igualdades anteriores permite escribir:

.

Llamando OV=e, los segmentos ZV, VN y VM serán:  ZV=b+e,  VN=g–e,  VM=a–e  ,
y la última desigualdad se expresará:

.

Por consiguiente, se tiene:  b·g·(a–e)² > a²·(b+e)·(g–e) .

Ahora Fermat introduce la «adigualdad» (TH.OF.III.130):

«[...] Es preciso por tanto, según mi método, comparar por “adigualdad”, estos productos, eliminar lo que es común y dividir lo que quedapor e».

Es decir, Fermat escribe: b·g·(a–e)²    a²·(b+e)·(g–e) ,
que desarrollado es: bga² + bge² –2bgae   bga² –bea² + gea² –a²e².
Al eliminar términos comunes resulta: bge – 2bga   –ba² + ga² – a²e .
Suprimiendo términos donde todavía aparece la e se obtiene:  –2bga   –ba² + ga².
Fermat alcanza, por fin, la solución. Aludiendo a la última adigualdad, escribe:
« [...] miembros que es preciso igualar, según el método. Trasponiendo como conviene; se tendrá: 
ba–ga = 2bg».
Es decir, según el resultado de Fermat, el segmento de subtangente a, sería igual a:  a = 2bg/(b–g) .
A continuación Fermat, para confirmar la validez de su solución, la compara con la solución de Apolonio (Las Cónicas, II.49):

«[...]. Se ve que esta solución es la misma que la de Apolonio, pues según mi construcción, para encontrar la tangente, es preciso hacer:

,

mientras que según la de Apolonio, es preciso hacer:

y está claro que estas dos construcciones conducen a lo mismo».

Efectivamente, los resultados de Fermat y de Apolonio son equivalentes, como se puede comprobar fácilmente. En efecto:

de donde se deduce:

Fermat termina diciendo  (TH.OF.III.130):

«Podría añadir otros numerosos ejemplos, tanto del primer caso de mi método como del segundo, pero los descritos son suficientes y prueban de sobra que el método es general y no falla jamás.
No añado la demostración de la regla, ni las numerosas aplicaciones que podrían confirmar su alto valor, como la invención de los centros de gravedad y de las asíntotas, de lo cual he enviado un ejemplo al sabio M. de Roberval».

 Apliquemos el resultado de Fermat, en términos actuales, a la obtención de la ecuación de la tangente a la elipse de semiejes α, β:

en el punto D de coordenadas D=(x₀,y₀).
Se tendrá: b = α + x₀ ,  g = β – x₀ ,
y si m es la pendiente de la recta tangente en el punto D, se obtiene:

de donde resulta para la ecuación de la tangente en D:

Al hacer operaciones resulta:

Ecuación habitual de la tangente a la elipse.